昨日に続いて、非線形最小二乗問題を解く方法として、Gauss-Newton 法と 黄金探索法 を組み合わせた手法を紹介します。

黄金探索法でステップ幅 \(\alpha\) の最適値を求める

Gauss-Newton 法は、初期値が真の解から大きく離れていたり、モデル関数が悪いと解が収束しないことがあります。その場合、まずは初期値とモデルを考え直しますが、より安定して解が得られる方法を使ってみたりします。

その方法はいくつか提案されていますが、Newton 法の場合と同じでステップ幅 \(\alpha (0 \lt \alpha \leq {1})\) の最適値を黄金探索法で求める方法なんかもよく使われます。しかし、計算量が増えて遅くなるので、通常の Gauss-Newton 法で十分なときは使う必要はありません。 Newton 法で黄金探索法を使用した場合と見比べてみると共通性が見えて理解しやすいかと思います。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def goldenRatioSearch(function, range, tolerance):
    # 黄金探索法によるステップ幅の最適化
    gamma = (-1+np.sqrt(5))/2
    a = range[0]
    b = range[1]
    p = b-gamma*(b-a)
    q = a+gamma*(b-a)
    Fp = function(p)
    Fq = function(q)
    width = 1e8
    while width > tolerance:
        if Fp <= Fq:
            b = q
            q = p
            Fq = Fp
            p = b-gamma*(b-a)
            Fp = function(p)
        else:
            a = p
            p = q
            Fp = Fq
            q = a+gamma*(b-a)
            Fq = function(q)
        width = abs(b-a)/2
    alpha = (a+b)/2
    return alpha


def gaussNewton(function, beta, tolerance, epsilon, flag):
    # Gauss-Newton 法
    delta = 2*tolerance
    while np.linalg.norm(delta) > tolerance:
        F = function(beta)
        J = np.zeros((len(F), len(beta)))  # 有限差分ヤコビアン
        for jj in range(0, len(beta)):
            dBeta = np.zeros(beta.shape)
            dBeta[jj] = epsilon
            J[:, jj] = (function(beta+dBeta)-F)/epsilon
        delta = -np.linalg.pinv(J).dot(F)  # 探索方向
        if flag == 1:
            alpha = goldenRatioSearch(lambda alpha: np.linalg.norm(function(beta+alpha*delta)), [1e-2, 1], 1e-2)
        else:
            alpha = 1
        beta = beta + alpha*delta
    return beta


def objectiveFunction(beta):
    # 目的関数
    r = y - theoreticalValue(beta)
    return r


def theoreticalValue(beta):
    # 理論値
    f = beta[0]*x / (beta[1]+x)
    return f

# サンプルデータの作成
x = np.array([0.038, 0.194, 0.425, 0.626, 1.253, 2.500, 3.740])
y = np.array([0.050, 0.127, 0.094, 0.2122, 0.2729, 0.2665, 0.3317])

# 初期値を設定して Gauss-Newton 法で非線形最小二乗法を解く
initialValue = np.array([0.9, 0.2])
betaID = gaussNewton(objectiveFunction, initialValue, 1e-4, 1e-4, 1)

# 結果を表示
print(betaID)
plt.figure()
plt.plot(x, y, 'r.')
plt.plot(x, theoreticalValue(betaID), 'b')
plt.show()

結果は以下のようになり変わりません。

>>> [ 0.36183687  0.55626645]